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Euler-Maclaurin Summation

Riemannの論文はこの後zeta-functionと素数との関係を論じているがその前に、
Riemann以後の学者によって零点の検証について地味な努力がされているので
その際に用いられたEuler-Maclaurin Summationを再勉強したい。
オイラーマクローリン総和法1
オイラーマクローリン総和法2
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2011-06-28 : 自然科学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :

zeta functional equation

いわゆるRe(s)>1の時のzeta関数を前回導いた。次にRe(s)<0の時を考えると結果的にzeta関数そのものではなくzeta関数(s)とzeta関数(1-s)の等式が得られる。これは結局 1>Re(s)>0 以外の領域でzeta関数を定義したことになる。
qq21.jpg
qq22.jpg
2011-06-26 : 自然科学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :

zeta-function

zeta-functionをgamma-functionを利用して定義するところ。
gamma-functionの積分表示では実数積分だがzeta-functionは
複素積分に拡張している。その積分経路は正の実数軸の上下を無限大から無限大に往復する。
数式があるので添付ファイルを見てください。
pp11x.jpg
pp12x.jpg
2011-06-24 : 自然科学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :
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