FC2ブログ

ζ 関数の計算

ζ 関数を実際に計算する過程をざっくりと見てみましょう。

実はζ関数では計算が厄介なので更にξ関数を定義します。
つまりξ(s)=f(s)×e^θ(t)i×ζ(s)の形にします。
ここでsは複素数(1/2)+ti, f(s)は実数関数とします。

ξ(s)は実部が1/2のとき実数なのでe^θ(t)i×ζ(s)も実数になります。
θ(t),ζ(s)は共にオイラーマクローリン総和法で計算します。
現在ではオイラーマクローリン総和法に拠りませんが温故知新の意味で。

例えばs=(1/2)+18iとすると、
θ(18)の計算
(18/2)×log(9/π)=0.472452
-(18/2)=-9
-π/8=0.392699
1/(48×18)=0.001158
合計=0.080911

ζ(1/2+18i)の計算
1^-s=+1.00000
2^-s=+0.70427+0.06336i
3^-s=+0.34726-0.46126i
4^-s=-0.49199+0.08924i
5^-s=-0.34333+0.28657i
6^(1-s)/(s-1)=-0.10340-0.08839i
(1/2)×(6^-s)=+0.13689-0.15142i
B_2項=+0.07761+0.06634i
B_4項=+0.01372+0.00725i
B_6項=+0.00349+0.00017i
B_8項=+0.00072-0.00053i
合計=2.32922-0.18865iだから

e^θ(18)i×ζ(1/2+18i)
=(e^0.0809i)×(2.329-0.189i)
=(cos0.0809+sin0.0809*i)×(2.329-0.189i)
=2.337+0.000i

ざっくり過ぎて何を計算してるのかよくわからないと思います。
零点を探すのが目的なのですが詳しく見たい人は以下をどうぞ。
あぁー疲れた。
零点計算1
零点計算2
スポンサーサイト



2012-04-28 : 数学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :

素数と量子

リーマンの素数定理の明示公式の中にζ関数の全ての零点を含む項があります。
ζ関数の零点は素数の極めて難解な表現とみなせるのです。

零点の間隔分布の特性は一応統計的に得られているがそれ以上については判ってませn。
したがって零点ではなく素数をもう一度振り返ってみます。
まず思うのは全ての自然数は素数によって一意に表されるということです。
つまり重要な事実として素数は数体系における単位だということです。

ギターの開放弦をビーンと鳴らす。するとその倍音、3倍音、4倍、5倍、・・・が
たとえ微弱であっても発生しているはずです。
そして2倍音、3倍音、5倍音、7倍音、・・・は素数で、一方4倍音、6倍音、8倍音・・・は、
それらの倍数になっています。
つまり素数である音とその倍音で構成されていると考えられます。
音ー振動の世界は、素数としての振動数とその倍数の振動数で構成されてます。

量子論ではエネルギーは振動数に比例します。
一方量子とはエネルギー単位のことです。粒子のことではないです。
ある振動数がエネルギー単位とするとその倍の振動数はエネルギー単位が2個ということになる。
つまりある素数的振動数すなわちエネルギー量子があってそれが1個、2個、3個・・・と数えられます。

モンゴメリーオドリッコの法則という統計的法則があります。
ζ関数の零点(自明でない)の間隔分布は、統計的にGUE演算子の固有値の間隔分布と同一である。

GUE演算子というのは、ガウス分布(正規分布)的にランダムなユニタリエルミート行列で
ユニタリ行列とは、ある行列があって、その転置行列をとり、更に各要素を複素共役にした行列が
元の行列の逆行列になる行列です。
エルミート行列とはそのm行n列の要素がn行m列の複素共役になってる行列のことです。

そして行列の固有値とは、あるベクトルに行列を掛けて変換してもベクトルの方向が変わらない時に
変換後のベクトルが元のベクトル長の何倍であるかを固有値といいます。
そしてその時のベクトルのことを固有ベクトルといいます。行列演算子の本質的に重要な性質は、
いろんな風に無限に変形できて、見た目は違うがすべて同じ固有値、固有ベクトルをもち、群をなすことです。
そしてエルミート行列の固有値は実数です。これが重要です。

重い原子核のエネルギー順位はGUE演算子の固有値であり実数であることが長年の実験事実として解ってます。
ζ関数の零点はもちろん素数と深くつながっているから、エネルギー量子ともつながっていると
考えられるので、ζ関数の零点は,GUE演算子の実数の固有値に対応すると考えるのは自然なことです。

正にそのことはζ関数の零点を(1/2)+biとすれば、bは実数であることを意味するはずです。
いいかえればリーマン予想ーζ関数の零点は実部が1/2のライン上にあるーは正しい。
私が以前書いたリーマン予想はそのことの証明を試みたものです。
2012-04-22 : 数学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :
ホーム

プロフィール

田中 亨

Author:田中 亨
FC2ブログへようこそ!

最新記事

検索フォーム

Powered By FC2ブログ

今すぐブログを作ろう!

Powered By FC2ブログ

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR