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素数個数

リーマンの論文の途中で素数の個数の近似式が提示されていますが
証明はおろか私にはよく理解できない説明がすこしあるだけです。
"リーマンにとっては自明なことでくどくど説明しなかったことでも
以降の数学者にとっては難解で手に負えずやっと数10年後あたりから
少しずつ理解と研究がなされるようになった。"
とリーマン研究の権威H.M.Edwardsは述べています。
彼の著書に素数の個数の近似式の証明にいたる経過が書かれてますが
そこでも偏角定理が使われています。難しい内容ですが粗筋を紹介します。
q012a.jpg
q012b.jpg
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2012-05-20 : 数学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :

偏角定理

まだ続くのかと思うでしょうが、思い立った時に一気にやらないと
怠け者は結局やらないで終わってしまうのです。
複素関数はその特異点や零点を調べることにより特性が分かります。例えば
複素階乗関数(GAMMA関数)は-1,-2,-3,・・・に特異点をもち零点がありません。
以下でそれを調べる強力な定理を導きます。
因みに特異点のない関数はただの定数です。
q011.jpg
2012-05-17 : 数学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :

Cauchy積分公式

コーシーの積分定理(Cauchy's integral theorem)について前回説明しましたが、
これを使って更にコーシーの積分公式(Cauchy's integral formula)が導かれます。
閉曲線上の線積分(周回積分)と閉曲線の内点の正則関数値の関係です。
これはコーシーの積分定理とともに非常に有用な公式で至る所で使われてます。
複素関数は視覚的な表現が難しいですが、この定理、公式は一応視覚的な側面があると思います。
q010.jpg
2012-05-15 : 数学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :

Cauchy積分定理

複素関数の変数zつまり複素平面上の1点zに近づくのは上下左右どこからでも近づけます。
なので点zで微分可能かどうかはあらゆる方向について調べなければならないわけです。
結論だけいうとコーシー・リーマン方程式を満たす時に微分可能となります。
このとき複素関数は点zで正則あるいは解析的であるといいます。

連続した領域で正則な関数は、その領域内の点aから点bに至る曲線に沿って線積分すると
どんな曲線かによらず同じです。(ただし曲線はその領域内での曲線)
線積分は、文字通り関数を曲線に沿って積分する(面積を求める)ことです。
点aと点bを通る閉じた曲線を考えると、閉曲線の始点が点aとすると途中で点bに至りそして点aに戻ることになります。
点aから点bへの線積分と点bから点aへの線積分を足したことになるので、結果は0です。
これをコーシーの積分定理といいます。

連続した領域ではなくいくつかの点を除かないといけない時は、それらの点を囲んでしまいます。
この穴の開いた連続領域でもコーシーの積分定理は成り立ちます。
"外側の線積分-穴を囲った線積分の総和=0" という形で。
例えば1/zという関数はz=0では定義できないのでその点を囲んでしまいます。
すると外側の線積分-穴を囲った線積分=0ですが、穴を囲った線積分=2πiとなります。
疲れたので詳しくは次回に。

2012-05-13 : 数学 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :
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