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The Enigma ヒルベルト

デデキントに続いてペアノが数学の基礎としてペアノの公理を発表した。
カントールは集合論を構築した。そこでは整数を順序数と命名している。
フレーゲも論理的観点から数学の基礎論を発表していた。
1900年ヒルベルトは20世紀にむけ17の問題を提起したが、その2番目にペアノ公理の無矛盾性の証明を挙げている。
ラッセルはフレーゲの基礎論を、集合の概念を導入してより具体化しようとした。
しかし重大なパラドックスの存在に気づいた。したがって集合論にも矛盾が存在する。
自分自身を含む集合と自分自身を含まない集合がある。例えば抽象的概念の集合は自身を含む。
人類という集合は人類を含まない。では自分自身を含まない集合の集合は、自分自身を含む、含まない?
結果は、自身を含むなら含まない、自身を含まないなら含むという矛盾に至る。
ヒルベルトは、フレーゲ、ラッセルの取組み方ではなく形式主義に拠ったが
1928年の国際会議で極めて明確に問題を提起した。
第1に、完全性。数学の各命題は証明されるか反証されるかである。
第2に、無矛盾性。ある命題は正当なステップの繰り返しによっても証明されない。
第3に、決定性。任意の主張に対し、正しいかを決定する決まった方法が存在する。
しかしほどなくクルト・ゲーデルはそれに対して深刻な打撃を与えた。
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2013-04-14 : その他 : コメント : 0 : トラックバック : 0 :
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